Quaternionen und andere Zahlbereiche. Was kommt nach den komplexen Zahlen?

Was kommt nach den komplexen Zahlen?

Nonfiction, Science & Nature, Mathematics, Number Theory
Cover of the book Quaternionen und andere Zahlbereiche. Was kommt nach den komplexen Zahlen? by Bastian Vincken, GRIN Verlag
View on Amazon View on AbeBooks View on Kobo View on B.Depository View on eBay View on Walmart
Author: Bastian Vincken ISBN: 9783638328708
Publisher: GRIN Verlag Publication: November 29, 2004
Imprint: GRIN Verlag Language: German
Author: Bastian Vincken
ISBN: 9783638328708
Publisher: GRIN Verlag
Publication: November 29, 2004
Imprint: GRIN Verlag
Language: German

Examensarbeit aus dem Jahr 2004 im Fachbereich Mathematik - Zahlentheorie, Note: 1,3, Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen (Lehrstuhl A für Mathematik), 23 Quellen im Literaturverzeichnis, Sprache: Deutsch, Abstract: Das traditionelle Zahlensystem gilt als wichtigste Grundlage in der Mathematik. Der Aufbau dieses Zahlensystems beginnt seit dem Ende des 19. Jahrhunderts bei den natürlichen Zahlen. Diese werden dann schrittweise zu den ganzen, den rationalen, den reellen bis hin zu den komplexen Zahlen erweitert. Die Schulmathematik umfasst im besten Fall das Zahlensystem bis hin zu den komplexen Zahlen. In dieser Arbeit wollen wir uns mit der Frage beschäftigen, ob es jenseits der komplexen Zahlen noch andere Zahlbereiche zu konstruieren gibt und inwieweit diese noch sinnvoll sind. Diese hyperkomplexen Zahlbereiche werden seit Beginn des 20. Jahrhunderts reelle Algebren genannt. Möchte man sich analog zu den komplexen Zahlen, die einen zweidimensionalen reellen Vektorraum bilden, höherdimensionale reelle Vektorräume zu hyperkomplexen Zahlbereichen machen, muss man entweder die Endlichkeit der Dimension aufgeben oder aber auf vertraute Körperaxiome wie die der Kommutativität oder der Assoziativität oder gar auf die Möglichkeit der Division verzichten. In dieser Arbeit werden wir uns auf die endlichdimensionalen Divisionsalgebren beschränken. Dies bedeutet, dass wir an der Endlichkeit der Dimension und der Möglichkeit der Division festhalten werden. Sollten wir diese Eigenschaften aufgeben, so würden wir von einer Masse neuer Zahlbereiche erschlagen werden. Diese neuen Zahlbereiche werden Eigenschaften aufweisen, die uns auf den ersten Blick merkwürdig vorkommen. Der _Vollständigkeitssatz_ der reellen Zahlen beinhaltet vomWort her schon eine gewisse _Vollständigkeit_ des Zahlbereichs. Wir werden feststellen, dass, je weiter man sich von den reellen Zahlen entfernt, immer mehr uns vertraute Eigenschaften verloren gehen und in diesem Zusammenhang deutlich machen, welche Kuriositäten mit deren Wegfall einhergehen. Hamilton schuf im Jahre 1843, nachdem er die komplexen Zahlen als erster rein arithmetisch begründet hatte, den vierdimensionalen Schiefkörper H der Quaternionen. Kurz darauf konstruierten Graves und Cayley die achtdimensionale Divisionsalgebra O der Oktonionen. Die Quaternionen sind bezüglich der Multiplikation nicht mehr kommutativ und bei den Oktonionen ist zusätzlich noch die Assoziativität verletzt. Bei beiden Zahlbereichen ist jedoch die Division noch eindeutig ausführbar.

View on Amazon View on AbeBooks View on Kobo View on B.Depository View on eBay View on Walmart

Examensarbeit aus dem Jahr 2004 im Fachbereich Mathematik - Zahlentheorie, Note: 1,3, Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen (Lehrstuhl A für Mathematik), 23 Quellen im Literaturverzeichnis, Sprache: Deutsch, Abstract: Das traditionelle Zahlensystem gilt als wichtigste Grundlage in der Mathematik. Der Aufbau dieses Zahlensystems beginnt seit dem Ende des 19. Jahrhunderts bei den natürlichen Zahlen. Diese werden dann schrittweise zu den ganzen, den rationalen, den reellen bis hin zu den komplexen Zahlen erweitert. Die Schulmathematik umfasst im besten Fall das Zahlensystem bis hin zu den komplexen Zahlen. In dieser Arbeit wollen wir uns mit der Frage beschäftigen, ob es jenseits der komplexen Zahlen noch andere Zahlbereiche zu konstruieren gibt und inwieweit diese noch sinnvoll sind. Diese hyperkomplexen Zahlbereiche werden seit Beginn des 20. Jahrhunderts reelle Algebren genannt. Möchte man sich analog zu den komplexen Zahlen, die einen zweidimensionalen reellen Vektorraum bilden, höherdimensionale reelle Vektorräume zu hyperkomplexen Zahlbereichen machen, muss man entweder die Endlichkeit der Dimension aufgeben oder aber auf vertraute Körperaxiome wie die der Kommutativität oder der Assoziativität oder gar auf die Möglichkeit der Division verzichten. In dieser Arbeit werden wir uns auf die endlichdimensionalen Divisionsalgebren beschränken. Dies bedeutet, dass wir an der Endlichkeit der Dimension und der Möglichkeit der Division festhalten werden. Sollten wir diese Eigenschaften aufgeben, so würden wir von einer Masse neuer Zahlbereiche erschlagen werden. Diese neuen Zahlbereiche werden Eigenschaften aufweisen, die uns auf den ersten Blick merkwürdig vorkommen. Der _Vollständigkeitssatz_ der reellen Zahlen beinhaltet vomWort her schon eine gewisse _Vollständigkeit_ des Zahlbereichs. Wir werden feststellen, dass, je weiter man sich von den reellen Zahlen entfernt, immer mehr uns vertraute Eigenschaften verloren gehen und in diesem Zusammenhang deutlich machen, welche Kuriositäten mit deren Wegfall einhergehen. Hamilton schuf im Jahre 1843, nachdem er die komplexen Zahlen als erster rein arithmetisch begründet hatte, den vierdimensionalen Schiefkörper H der Quaternionen. Kurz darauf konstruierten Graves und Cayley die achtdimensionale Divisionsalgebra O der Oktonionen. Die Quaternionen sind bezüglich der Multiplikation nicht mehr kommutativ und bei den Oktonionen ist zusätzlich noch die Assoziativität verletzt. Bei beiden Zahlbereichen ist jedoch die Division noch eindeutig ausführbar.

More books from GRIN Verlag

Cover of the book Das Arbeitszeugnis - Bedeutung, wichtige gesetzliche Regelungen und inhaltliche Ausgestaltung by Bastian Vincken
Cover of the book Zusammensetzen eines Fleischwolfes (Unterweisung Fleischer / -in) by Bastian Vincken
Cover of the book Rolle der Banken in Deutschland by Bastian Vincken
Cover of the book Antisemitismus und Nationalsozialismus by Bastian Vincken
Cover of the book Die Wahrnehmung des 'Anderen' bei Alfred Holzbrecher und Paul Mecheril by Bastian Vincken
Cover of the book Die Julikrise 1914 by Bastian Vincken
Cover of the book Ideational Grammatical Metaphors. Applications in Selected Registers by Bastian Vincken
Cover of the book Die Haftung des faktischen GmbH-Geschäftsführers by Bastian Vincken
Cover of the book Gegenstand Tanz by Bastian Vincken
Cover of the book Schlagwort Bildung. Wege aus einem instrumentalisierten Diskurs by Bastian Vincken
Cover of the book Sachanlagevermögen. Umstellung von kameralistischer Buchführung auf doppische Rechnungslegung bei der Erstellung einer Eröffnungsbilanz am Beispiel zweier Kommunen by Bastian Vincken
Cover of the book Unterschiede in der Bilanzierung von latenten Steuern im Einzelabschluss nach HGB und IAS/IFRS by Bastian Vincken
Cover of the book Vergleich der Politik von SPD und KPD in der Früh- und Schlussphase der Weimarer Republik im Hinblick auf das Erstarken des Faschismus by Bastian Vincken
Cover of the book Weblogs als neues Kommunikationsmedium in der Bildungswissenschaft by Bastian Vincken
Cover of the book Die Markomannenkriege Marc Aurels - Expansion oder Grenzsicherung? by Bastian Vincken
We use our own "cookies" and third party cookies to improve services and to see statistical information. By using this website, you agree to our Privacy Policy